Raporti i artë është një proporcion që është konsideruar më i përsosuri dhe harmoniku që nga kohërat antike. Ajo formon bazën e shumë strukturave antike, nga statujat te tempujt, dhe është shumë e zakonshme në natyrë. Në të njëjtën kohë, kjo përpjesëtim shprehet në ndërtime çuditërisht elegante matematikore.
Udhëzimet
Hapi 1
Proporcioni i artë përcaktohet si më poshtë: është një ndarje e tillë e një segmenti në dy pjesë që pjesa më e vogël i referohet asaj më të madhe në të njëjtën mënyrë sikurse pjesa më e madhe i referohet të gjithë segmentit.
Hapi 2
Nëse gjatësia e të gjithë segmentit merret si 1, dhe gjatësia e pjesës më të madhe merret si x, atëherë proporcioni i kërkuar do të shprehet me ekuacionin:
(1 - x) / x = x / 1.
Duke shumëzuar të dy anët e proporcionit me x dhe transferimin e termave, ne marrim ekuacionin kuadratik:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Hapi 3
Ekuacioni ka dy rrënjë reale, nga të cilat natyrshëm na intereson vetëm pozitivja. Equalshtë e barabartë me (√5 - 1) / 2, e cila është afërsisht e barabartë me 0, 618. Ky numër shpreh raportin e artë. Në matematikë, ajo është shënuar më shpesh me shkronjën φ.
Hapi 4
Numri φ ka një numër të vetive të shquara matematikore. Për shembull, edhe nga ekuacioni origjinal shihet se 1 / φ = φ + 1. Në të vërtetë, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Hapi 5
Një mënyrë tjetër për të llogaritur raportin e artë është përdorimi i një fraksioni të pafund. Duke filluar nga çdo x arbitrar, ju mund të ndërtoni një fraksion në vijimësi:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etj.
Hapi 6
Për të lehtësuar llogaritjet, kjo fraksion mund të paraqitet si një procedurë përsëritëse, në të cilën për të llogaritur hapin tjetër, duhet të shtoni një në rezultatin e hapit të mëparshëm dhe të ndani një me numrin që rezulton. Me fjale te tjera:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Ky proces konvergjon, dhe kufiri i tij është φ + 1.
Hapi 7
Nëse zëvendësojmë llogaritjen e reciproke me nxjerrjen e rrënjës katrore, domethënë, ne kryejmë një lak përsëritës:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), atëherë rezultati do të mbetet i pandryshuar: pavarësisht nga x i zgjedhur fillimisht, përsëritjet konvergojnë në vlerën φ + 1.
Hapi 8
Gjeometrikisht, raporti i artë mund të ndërtohet duke përdorur një pesëkëndësh të rregullt. Nëse në të vizatojmë dy diagonale tërthore, atëherë secila prej tyre do të ndajë tjetrën në mënyrë rigoroze në raportin e artë. Ky vëzhgim, sipas legjendës, i përket Pitagorës, i cili ishte aq i tronditur nga modeli i gjetur, saqë e konsideroi yllin e saktë me pesë cepa (pentagram) si një simbol të shenjtë hyjnor.
Hapi 9
Arsyet pse është raporti i artë që i duket një personi më harmonik janë të panjohura. Sidoqoftë, eksperimentet në mënyrë të përsëritur kanë konfirmuar që subjektet të cilët ishin udhëzuar të ndanin segmentin në dy pjesë të pabarabarta më bukur e bëjnë atë në proporcione shumë afër raportit të artë.
